0110 Solved

0110-Balanced-Binary-Tree/Article/0110-Balanced-Binary-Tree2.md

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+# LeetCode 第 110 号问题：平衡二叉树
+
+> 本文首发于公众号「图解面试算法」，是 [图解 LeetCode ](<https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation>) 系列文章之一。
+>
+> 同步博客：https://www.algomooc.com
+
+题目来源于 LeetCode 上第 110 号问题：平衡二叉树。
+
+### 题目描述
+
+给定一个二叉树，判断它是否是高度平衡的二叉树。
+
+本题中，一棵高度平衡二叉树定义为：
+
+> 一个二叉树*每个节点* 的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1。
+
+**示例 1:**
+
+```
+    3
+   / \
+  9  20
+    /  \
+   15   7
+```
+
+返回 `true` 。
+
+**示例 2:**
+
+给定二叉树 `[1,2,2,3,3,null,null,4,4]`
+
+```
+       1
+      / \
+     2   2
+    / \
+   3   3
+  / \
+ 4   4
+```
+
+返回 `false` 。
+
+### 题目解析 - 自顶向下
+
+这道题可以算是递归的充分使用了, 每一个子树都是子问题. 
+
+根据题意, 直观的想法就是计算当前节点左右子树的高度差了, 具体算法流程如下:
+
+*定义* 方法 `depth(root)` 计算 root 最大高度
+
+- **终止条件：** 当 `root` 为空，即越过叶子节点，则返回高度 0
+- **返回值：** Max(左子树高度, 右子树高度 ) + 1
+
+*定义* 方法 `isBalanced(root)` 判断树 `root` 是否平衡
+
+- **特例处理：** 若树根节点 `root` 为空，则直接返回 true
+- **返回值：** 所有子树都需要满足平衡树性质，因此以下三者使用与 逻辑与 连接
+  - `abs(depth(root.left) - depth(root.right)) < 2` ：判断 **当前子树** 是否是平衡树
+  - `isBalanced(root.left)` ： 先序遍历递归，判断 **当前子树的左子树** 是否是平衡树；
+  - `isBalanced(root.right)` ： 先序遍历递归，判断 **当前子树的右子树** 是否是平衡树；
+
+> 通过流程能发现, 暴力法虽然容易想到, 但是会产生大量冗余计算, 因此时间复杂度也就会高;
+>
+> 想避免这种情况, 移步向下看 自底向上 方法
+
+### 动画描述
+
+<img src="../Animation/Animation1.gif" alt="Animation1" style="zoom:150%;" />
+
+### 参考代码
+
+```javascript
+/**
+ * JavaScript 描述
+ * 自顶向下递归
+ */
+function depth(root) {
+    if (root == null) {
+        return 0;
+    }
+    return Math.max(depth(root.left), depth(root.right)) + 1;
+};
+var isBalanced = function(root) {
+    if (root == null) {
+        return true;
+    }
+    return Math.abs(depth(root.left) - depth(root.right)) < 2 &&
+           isBalanced(root.left) &&
+           isBalanced(root.right);
+};
+```
+
+### 复杂度分析
+
+- 时间复杂度: **O(Nlog_2 N)**
+
+  最差情况下， isBalanced(root) 遍历树所有节点，占用 O(N)O(N) ；判断每个节点的最大高度 depth(root) 需要遍历 各子树的所有节点 ，子树的节点数的复杂度为 O(log_2 N)
+
+- 空间复杂度: **O(N)**
+
+  最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 O(N) 的栈空间
+
+### 题目解析 - 自底向上
+
+**自顶向下** 计算 `depth` 存在大量冗余, 每次调用 `depth` 时，要同时计算其子树高度。
+
+**自底向上** 计算每个子树的高度只会计算一次。先递归计算当前节点的子节点高度，然后再通过子节点高度判断当前节点是否平衡，从而消除冗余。
+
+**自底向上** 与 **自顶向下** 的逻辑相反，首先判断子树是否平衡，然后比较子树高度判断父节点是否平衡。算法如下：
+
+*定义* 方法 `recur(root):` : 判断子树是否平衡 | 返回当前节点高度
+
+- **递归终止条件：**
+  - 当越过叶子节点时, 返回高度 0
+  - 当左（右）子树高度 `left== -1` 时，代表此子树的 **左（右）子树** 不是平衡树, 因此直接返回 `-1`
+- **递归返回值：**
+  - 当节点 `root` 左 / 右子树的高度差 < 2：返回以节点 root 为根节点的子树的最大高度Max( left, right ) + 1
+  - 当节点 `root` 左 / 右子树的高度差 >= 2 ：则返回 `-1` , 代表 **此子树不是平衡树** 
+
+*定义* 方法 `isBalanced(root)` : 判断当前树是否平衡
+
+- **返回值：** 若 `recur(root) != 1` , 则说明此树平衡, 返回 `true` , 否则返回 `false`
+
+### 动画描述
+
+<img src="../Animation/Animation2.gif" alt="Animation2" style="zoom:150%;" />
+
+### 参考代码
+
+```javascript
+/**
+ * JavaScript 描述
+ * 自底向上递归
+ */
+function recur(root) {
+    if (root == null) {
+        return 0;
+    }
+    let leftHeight = recur(root.left);
+    if (leftHeight == -1) {
+        return -1;
+    }
+    let rightHeight = recur(root.right);
+    if (rightHeight == -1) {
+        return -1;
+    }
+    return Math.abs(leftHeight - rightHeight) < 2 ? 
+           Math.max(leftHeight,rightHeight) + 1 : -1;
+};
+var isBalanced = function(root) {
+    return recur(root) != -1;
+};
+```
+
+### 复杂度分析
+
+- 时间复杂度 **O(N)**： N为树的节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
+- 空间复杂度 **O(N)**： 最差情况下（树退化为链表时），系统递归需要使用 O(N) 的栈空间。
+
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+![](../../Pictures/qrcode.jpg)