# 杨辉三角
> 本文首发于公众号「五分钟学算法」，是[图解 LeetCode](https://github.com/MisterBooo/LeetCodeAnimation) 系列文章之一。
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> 个人网站：[https://www.cxyxiaowu.com](https://www.cxyxiaowu.com)
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杨辉三角应该是大家很早就接触到的一个数学知识，它有很多有趣的性质：
- 每个数字等于上一行的左右两个数字之和，即 *C(n+1,i) = C(n,i) + C(n,i-1)*
- 每行数字左右对称，由 1 开始逐渐变大
- 第 n 行的数字有 n 项
- 第 n 行的第 m 个数和第 n - m + 1 个数相等 ，为[组合数](https://baike.baidu.com/item/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0)性质之一
- ( a + b )n的展开式中的各项[系数](https://baike.baidu.com/item/%E7%B3%BB%E6%95%B0)依次对应杨辉三角的第 ( n + 1 ) 行中的每一项
- 。。。
## 杨辉三角
题目来源于 LeetCode 上第 118 号问题：杨辉三角。题目难度为 Easy，目前通过率为 61.8% 。
### 题目描述
给定一个非负整数 *numRows，*生成杨辉三角的前 *numRows* 行。
在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
**示例:**
```
输入: 5
输出:
[
[1],
[1,1],
[1,2,1],
[1,3,3,1],
[1,4,6,4,1]
]
```
### 题目解析
> 这道题目在各大高校的习题中经常出现。
对于本题而言，利用性质 1 ：每一行的首个和结尾一个数字都是 1，从第三行开始，中间的每个数字都是上一行的左右两个数字之和。
### 代码实现
```java
class Solution {
public List> generate(int numRows) {
List> result = new ArrayList<>();
if (numRows < 1) return result;
for (int i = 0; i < numRows; ++i) {
//扩容
List list = Arrays.asList(new Integer[i+1]);
list.set(0, 1); list.set(i, 1);
for (int j = 1; j < i; ++j) {
//等于上一行的左右两个数字之和
list.set(j, result.get(i-1).get(j-1) + result.get(i-1).get(j));
}
result.add(list);
}
return result;
}
}
```
## 杨辉三角II
题目来源于 LeetCode 上第 119 号问题：杨辉三角II。题目难度为 Easy，目前通过率为 55.5% 。
### 题目描述
给定一个非负索引 *k*，其中 *k* ≤ 33，返回杨辉三角的第 *k* 行。
在杨辉三角中，每个数是它左上方和右上方的数的和。
**示例:**
```
输入: 3
输出: [1,3,3,1]
```
**进阶：**
你可以优化你的算法到 *O*(*k*) 空间复杂度吗？
### 题目解析
这道题目的难点与思考点在于题目有额外限制条件，程序只能使用 O(k) 的额外空间，因此无法通过累加的方式将每一行都输出打印。
这里依旧使用杨辉三角的规律，很隐藏的规律：对于杨辉三角的同一行，第 ( i + 1) 项是第 i 项的` ( k - i ) /( i + 1 )` 倍。
比如：
- 第 k 索引行的第 0 项：1
- 第 k 索引行的第 1 项：1 * k
- 第 k 索引行的第 2 项：1 * k * ( k - 1) / 2
- 第 k 索引行的第 3 项：[1 * k * ( k - 1) / 2 ] * ( k - 2 ) / 3
### 代码实现
```java
class Solution {
public List getRow(int rowIndex) {
List res = new ArrayList<>(rowIndex + 1);
long index = 1;
for (int i = 0; i <= rowIndex; i++) {
res.add((int) index);
index = index * ( rowIndex - i ) / ( i + 1 );
}
return res;
}
}
```
## 一个有趣的结论
感兴趣小伙伴的可以搜索一下李永乐讲得抽奖概率相关的视频，里面提及到了很多杨辉三角的神奇特点。
