# 跳表（Skip List）

支持快速地：

* 插入
* 删除
* 查找

某些情况下，跳表甚至可以替代红黑树（Red-Black tree）。Redis 当中的有序集合（Sorted Set）是用跳表实现的。

## 跳表的结构

跳表是对链表的改进。对于单链表来说，即使内容是有序的，查找具体某个元素的时间复杂度也要达到 $O(n)$。对于二分查找来说，由于链表不支持随机访问，根据 `first` 和 `last` 确定 `cut` 时，必须沿着链表依次迭代 `std::distance(first, last) / 2` 步；特别地，计算 `std::(first, last)` 本身，就必须沿着链表迭代才行。此时，二分查找的效率甚至退化到了 $O(n \log n)$，甚至还不如顺序遍历。

![单链表查找示例](https://static001.geekbang.org/resource/image/e1/6d/e18303fcedc068e5a168de04df956f6d.jpg)

跳表的核心思想是用空间换时间，构建足够多级数的索引，来缩短查找具体值的时间开销。

![具有二级索引的跳表示例](https://static001.geekbang.org/resource/image/49/65/492206afe5e2fef9f683c7cff83afa65.jpg)

例如对于一个具有 64 个有序元素的五级跳表，查找起来的过程大约如下图所示。

![五级跳表示例](https://static001.geekbang.org/resource/image/46/a9/46d283cd82c987153b3fe0c76dfba8a9.jpg)

## 复杂度分析

对于一个每一级索引的跨度是下一级索引 $k$ 倍的跳表，每一次 `down` 操作，相当于将搜索范围缩小到「剩余的可能性的 $1 / k$」。因此，查找具体某个元素的时间复杂度大约需要 $\lfloor \log_k n\rfloor + 1$ 次操作；也就是说时间复杂度是 $O(\log n)$。

![跳表查询过程示例](https://static001.geekbang.org/resource/image/d0/0c/d03bef9a64a0368e6a0d23ace8bd450c.jpg)

前面说了，跳表是一种用空间换时间的数据结构。因此它的空间复杂度一定不小。我们考虑原链表有 $n$ 个元素，那么第一级索引就有 $n / k$ 个元素，剩余的索引依次有 $n / k^2$, $n / k^3$, ..., $1$ 个元素。总共的元素个数是一个等比数列求和问题，它的值是 $\frac{n - 1}{k - 1}$。可见，不论 $k$ 是多少，跳表的空间复杂度都是 $O(n)$；但随着 $k$ 的增加，实际需要的额外节点数会下降。

## 高效地插入和删除

对于链表来说，插入或删除一个给定结点的时间复杂度是 $O(1)$。因此，对于跳表来说，插入或删除某个结点，其时间复杂度完全依赖于查找这类结点的耗时。而我们知道，在跳表中查找某个元素的时间复杂度是 $O(\log n)$。因此，在跳表中插入或删除某个结点的时间复杂度是 $O(\log n)$。

![在跳表中插入一个元素](https://static001.geekbang.org/resource/image/65/6c/65379f0651bc3a7cfd13ab8694c4d26c.jpg)

## 跳表索引的动态更新

为了维护跳表的结构，在不断插入数据的过程中，有必要动态维护跳表的索引结构。一般来说，可以采用随机层级法。具体来说是引入一个输出整数的随机函数。当随机函数输出 $K$，则更新从第 $1$ 级至第 $K$ 级的索引。为了保证索引结构和数据规模大小的匹配，一般采用二项分布的随机函数。

![在跳表中插入一个元素并更新索引](https://static001.geekbang.org/resource/image/a8/a7/a861445d0b53fc842f38919365b004a7.jpg)