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Python
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#!/usr/bin/python
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# -*- coding: UTF-8 -*-
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from typing import List
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def longest_increasing_subsequence(nums: List[int]) -> int:
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"""
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最长子上升序列的一种DP解法，从回溯解法转化，思路类似于有限物品的背包问题
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每一次决策都算出当前可能的lis的长度，重复子问题合并，合并策略是lis的末尾元素最小
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时间复杂度：O(n^2)
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空间复杂度：O(n^2)，可优化至O(n)
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没leetcode上的参考答案高效，提供另一种思路作为参考
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https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/
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:param nums:
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:return:
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"""
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if not nums:
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return 0
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n = len(nums)
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# memo[i][j] 表示第i次决策，长度为j的lis的 最小的 末尾元素数值
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# 每次决策都根据上次决策的所有可能转化，空间上可以类似背包优化为O(n)
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memo = [[-1] * (n+1) for _ in range(n)]
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# 第一列全赋值为0，表示每次决策都不选任何数
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for i in range(n):
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memo[i][0] = 0
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# 第一次决策选数组中的第一个数
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memo[0][1] = nums[0]
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for i in range(1, n):
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for j in range(1, n+1):
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# case 1: 长度为j的lis在上次决策后存在，nums[i]比长度为j-1的lis末尾元素大
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if memo[i-1][j] != -1 and nums[i] > memo[i-1][j-1]:
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memo[i][j] = min(nums[i], memo[i-1][j])
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# case 2: 长度为j的lis在上次决策后存在，nums[i]比长度为j-1的lis末尾元素小/等
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if memo[i-1][j] != -1 and nums[i] <= memo[i-1][j-1]:
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memo[i][j] = memo[i-1][j]
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if memo[i-1][j] == -1:
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# case 3: 长度为j的lis不存在，nums[i]比长度为j-1的lis末尾元素大
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if nums[i] > memo[i-1][j-1]:
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memo[i][j] = nums[i]
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# case 4: 长度为j的lis不存在，nums[i]比长度为j-1的lis末尾元素小/等
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break
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for i in range(n, -1, -1):
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if memo[-1][i] != -1:
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return i
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if __name__ == '__main__':
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# 要求输入的都是大于0的正整数(可优化至支持任意整数)
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nums = [2, 9, 3, 6, 5, 1, 7]
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print(longest_increasing_subsequence(nums))
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