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LeetCode 第 70 号问题：爬楼梯

本文首发于公众号「图解面试算法」，是 图解 LeetCode 系列文章之一.

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题目来源于 LeetCode 上第 70 号问题：爬楼梯。题目难度为 Easy。

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例1

输入： 2

解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1. 1 阶 + 1 阶

2. 2 阶

题目解析

试着倒推想一下,就能发现这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题,它的最优解可以从其子问题 的最优解来有效地构建,因此我们可以使用动态规划解决这个问题.

第 i 阶可以由以下两种方法得到：

在第 (i - 1) 阶后向上爬 1 阶。

在第 (i - 2) 阶后向上爬 2 阶

所以到达第 i 阶的方法总数就是到第 (i - 1) 阶和第 (i - 2) 阶的方法数之和。

dp[i]dp[i] 表示能到达第 i 阶的方法总数,那么DP推导公式就是:

dp[i] = dp[i − 1] + dp[i − 2]

动画理解

参考代码

/**
 * JavaScript 描述
 */
var climbStairs = function(n) {
    let temp = new Array(n+1);
    temp[1] = 1;
    temp[2] = 2;
    for (let i = 3; i < temp.length; i++) {
        temp[i] = temp[i-1] + temp[i-2];
    }
    return temp[n];
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，单循环到 n。
• 空间复杂度：O(n)，dpdp 数组用了 n 的空间。

进一步优化

根据推导公式不难发现,我们要求的结果就是数组的最后一项,而最后一项又是前面数值叠加起来的,那么我们只需要两个变量保存 i - 1 和 i - 2 的值就可以了.

/**
 * JavaScript 描述
 */
var climbStairs = function(n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    let first = 1,
        second = 2;
    for (let i = 3; i <= n; i++) {
       let third = first + second;
       first = second;
       second = third;
    }
    return second;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，单循环到 n。
• 空间复杂度：O(1)，用到了常量的空间。