3.4 KiB
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线性排序
开篇问题
如何按年龄给 100 万用户排序?
桶排序(Bucket Sort)
算法思想:
- 按待排序数据的 key 分有序桶
- 桶内排序
- 有序桶依次输出
算法分析
- 时间复杂度
O(n)
n
个元素,分m
个有序桶,每个桶里平均k = n / m
个元素- 桶内快排,复杂度 $O(k \log k)$,
m
个桶一共O(n \log k)
- 当
m
接近 $n$,例如当k = 4
时,这个复杂度近似O(n)
- 使用条件
- 数据易于分如有序桶
- 数据在各个有序桶之间分布均匀
- 适合外部排序——数据不全部载入磁盘
计数排序(Counting Sort)
计数排序可以视作是桶排序的一个特殊情况:
- 数据的取值范围很小
- 每个分桶内的元素 key 值都一样
此时,由于分桶内的元素 key 值都一样,所以桶内的排序操作可以省略,以及桶的编号本身就能记录桶内元素的值。因此,算法只需遍历一遍所有的数据,统计每个取值上有多少元素即可。这个过程时间复杂度是 $O(n)$。
- 假设待排序的数组
A = {2, 5, 3, 0, 2, 3, 0, 3}
,我们有计数数组C = {2, 0, 2, 3, 0, 1}
接下来,我们要对 C
进行计数操作,具体来说,对从下标为 1 的元素开始累加 C[i] += C[i - 1]
。
- 计数累加
C = {2, 2, 4, 7, 7, 8}
此时,C
中的元素表示「小于等于下标的元素的个数」。接下来,我们从尾至头扫描待排序数组 A
,将其中元素依次拷贝到输出数组 R
的相应位置。我们注意到,A[7] = 3
而 C[3] == 4
。这意味着,待排序的数组中,包括 3 本身在内,不超过 3 的元素共有 4 个。因此,我们可以将这个 3 放置在 R[C[3] - 1]
的位置,而后将 C[3]
的计数减一——这是由于待排序数组中未处理的部分,不超过 3 的元素现在只剩下 3 个了。如此遍历整个待排序数组 A
,即可得到排序后的结果 R
。
算法分析
- 时间复杂度
n
个元素,最大值是 $k$,分k
个「桶」;时间复杂度O(n)
- 桶内计数累加;时间复杂度
O(k)
- 摆放元素;时间复杂度
O(n)
- 当
k < n
时,总体时间复杂度是O(n)
- 使用条件
k < n
- 待排序数据的 key 是非负整数
基数排序(Radix Sort)
基数排序适用于等长数据的排序。对于不等长数据,可以在较短的数据后面做 padding,使得数据等长。
- 先就 least significant digit 进行稳定排序——通常可以用桶排序或者计数排序;时间复杂度
O(n)
- 而后依次向 greatest significant digit 移动,进行稳定排序
算法分析
- 时间复杂度
- 对每一位的排序时间复杂度是
O(n)
- 总共
k
位,因此总的时间复杂度是 $O(kn)$;考虑到k
是常数,因此总的时间复杂度是O(n)
- 对每一位的排序时间复杂度是
- 使用条件
- 等长数据
解答开篇
桶排序。