3.3 KiB
跳表（Skip List）
支持快速地：
- 插入
- 删除
- 查找
某些情况下，跳表甚至可以替代红黑树（Red-Black tree）。Redis 当中的有序集合（Sorted Set）是用跳表实现的。
跳表的结构
跳表是对链表的改进。对于单链表来说，即使内容是有序的，查找具体某个元素的时间复杂度也要达到 $O(n)$。对于二分查找来说，由于链表不支持随机访问，根据 first 和 last 确定 cut 时，必须沿着链表依次迭代 std::distance(first, last) / 2 步；特别地，计算 std::(first, last) 本身，就必须沿着链表迭代才行。此时，二分查找的效率甚至退化到了 $O(n \log n)$，甚至还不如顺序遍历。
跳表的核心思想是用空间换时间，构建足够多级数的索引，来缩短查找具体值的时间开销。
例如对于一个具有 64 个有序元素的五级跳表，查找起来的过程大约如下图所示。
复杂度分析
对于一个每一级索引的跨度是下一级索引 k 倍的跳表，每一次 down 操作，相当于将搜索范围缩小到「剩余的可能性的 $1 / k$」。因此，查找具体某个元素的时间复杂度大约需要 \lfloor \log_k n\rfloor + 1 次操作；也就是说时间复杂度是 $O(\log n)$。
前面说了，跳表是一种用空间换时间的数据结构。因此它的空间复杂度一定不小。我们考虑原链表有 n 个元素，那么第一级索引就有 n / k 个元素，剩余的索引依次有 n / k^2, n / k^3, ..., 1 个元素。总共的元素个数是一个等比数列求和问题，它的值是 $\frac{n - 1}{k - 1}$。可见，不论 k 是多少，跳表的空间复杂度都是 $O(n)$；但随着 k 的增加，实际需要的额外节点数会下降。
高效地插入和删除
对于链表来说，插入或删除一个给定结点的时间复杂度是 $O(1)$。因此，对于跳表来说，插入或删除某个结点，其时间复杂度完全依赖于查找这类结点的耗时。而我们知道，在跳表中查找某个元素的时间复杂度是 $O(\log n)$。因此，在跳表中插入或删除某个结点的时间复杂度是 $O(\log n)$。
跳表索引的动态更新
为了维护跳表的结构，在不断插入数据的过程中，有必要动态维护跳表的索引结构。一般来说，可以采用随机层级法。具体来说是引入一个输出整数的随机函数。当随机函数输出 $K$，则更新从第 1 级至第 K 级的索引。为了保证索引结构和数据规模大小的匹配，一般采用二项分布的随机函数。
